splix.io 是一款基於區域控制概念的即時多人線上遊戲。玩家操控一條代表自身勢力的蛇，在由方格構成的地圖上移動並佔領區域。每當玩家離開自己的領地，蛇的移動路徑上會留下痕跡。若成功繞行並回到領地，所包圍的區域將歸入自己的版圖。玩家需謹慎規劃路徑，避免與自身或他人的痕跡相撞，同時尋找機會攻擊對手。遊戲兼具戰略性與風險管理，最終排名依據玩家佔領的面積決定。

在本題中，考慮一個不同的情境：棋盤上只有你控制的蛇，並且可能存在若干「燒紅的石頭」。蛇的移動遵循以下規則：

1. 蛇初始位於格子 $S$，該格視為其起始領地。
2. 每次移動，玩家可選擇將蛇頭朝向上、下、左或右中的其中一個方向，並向前移動一格。蛇不可移出棋盤邊界。
3. 蛇離開領地時，移動途中會在經過的格子上留下痕跡，稱為其「身體」。
4. 若蛇頭在移動過程中碰觸到自己的身體，則會被視為死亡。
5. 若蛇成功返回任一己方領地格，則路徑所形成的封閉區域（注意與原本遊戲的判定有些許不同，下點說明）的所有格子將被視為成功佔領，並成為新的領地，同時所有產生的身體會全部消失並轉換成新的領地。
6. 佔領事件發生時，定義邊 $X$ 為從回到領地時頭的格子與前一個時刻的格子中間的邊，邊 $Y$ 為第一次離開領土的格子與離開領土前的格子中間的邊，從 $X$ 向左（前述定義的前方逆時針轉 90 度）沿著領地邊緣（領土與空地的交界處）延伸直到 $Y$，由 $Y$ 沿著身體的右側延伸回 $X$，所形成的封閉路徑稱為封閉區域。
7. 若佔領的區域包含任一顆燒紅的石頭，亦視為死亡。

以下是遊玩畫面的示例。圖中綠色區域是領地，藍色部分是蛇的身體，黃色部分是蛇的頭部。下一回合若要避免撞到身體，蛇只能選擇向左、右或向下移動。

碰到身體的情況如下：

碰到身體前	碰到身體後

以下是佔領領地的過程。淺藍色的是 $X$ 邊，粉紅色的是 $Y$ 邊，紅色內部為封閉區域。

佔領領地前	正在佔領	計算封閉區域	佔領領地後

包圍燒紅的石頭也是不被允許的行為，下圖中紅色的格子代表燒紅的石頭。

現在，給定一個 $N \times M$ 的棋盤，初始位置在 $S$，並存在若干燒紅的石頭。在可以無次數上限移動且不死亡的前提下，試問蛇所能成功佔領的最大格子數是多少。